在空间中定义了矢量之后，还需要引入空间中的距离概念，这相当于对矢量进行某种度量（例如矢量的长度或模），这样就需要把矢量跟数量联系起来。一般地，这就需要定义该空间中的内积运算，而某个矢量的长度，对应该矢量与它自身的内积开平方。
为了定义内积运算，除了矢量，还要引入与矢量对偶的对偶矢量，内积就是矢量与对偶矢量之间的运算（这种运算满足一些内积公理）。协变矢量与逆变矢量，相当于矢量与对偶矢量，二者之间的缩并运算，即是矢量之间的内积运算。对于三维空间中的矢量而言，矢量的对偶矢量是矢量本身，因此不必区分矢量与对偶矢量，此时也就不分协变矢量与逆变矢量，这是一种特例。
看看这个例题——
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