解：（1）函数f（x）=23sinxcosx+cos2x-sin2x-1
=3sin2x+cos2x-1=2（32sin2x+12cos2x）-1=2sin（2x+π6）-1．
令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得，kπ-π3≤x≤kπ+π6，
由于x∈[-π，π]，则k=0，得-π3≤x≤π6，k=1得2π3≤x≤π，
k=-1，得，-π≤x≤-5π6，
即有f（x）的单调增区间为：[-π3，π6]，[-π，-5π6]，[2π3，π]；
（2）由于x∈[-5π12，π3]，则2x+π6∈[-2π3，5π6]，
则sin（2x+π6）∈[-1，1]，则f（x）∈[-3，1]，
则f（x）的取值范围：[-3，1]；
（3）由于f（x）=2sin（2x+π6）-1．
令2x+π6=kπ+π2，则x=kπ2+π6，k∈Z，
再令2x+π6=kπ，解得，x=kπ2-π6，k∈Z，
即有函数的对称轴方程为：x=kπ2+π6，k∈Z，
对称中心为（kπ2-π6，-1），k∈Z．
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