－2π∫√(1+2cos^2x)dcosx=－2π∫√(1+2cos^2x)dcosx=

该积分可以写成：
-2π∫√(1+2cos^2x)dcosx
为了解决这个积分，我们可以使用代换 u = cos(x)。然后 du/dx = -sin(x)，dx = du/-sin(x)。代入这些值，我们得到：
-2π∫√(1+2u^2)(-1/sin(x))du
由于 u = cos(x)，我们可以写成 sin(x) = √(1 - cos^2(x)) = √(1 - u^2)。代入这个值，我们得到：
-2π∫√(1+2u^2)(-1/√(1-u^2))du
简化积分，我们得到：
2π∫√(1+2u^2)/√(1-u^2)du
我们可以通过将分子和分母乘以√(1+u^2)来简化被积函数：
2π∫(1+u^2)/√(1-u^2)(1+u^2)du
展开分子，我们得到：
2π∫(1+2u^2+u^4)/√(1-u^2)(1+u^2)du
分离分式，我们得到：
2π∫(1/√(1-u^2) + 2u^2/√(1-u^2) + u^4/√(1-u^2))/(1+u^2)du
第一项可以使用代换 u = sin(t) 来解决：
2π∫(1/√(1-u^2))du = π
对于第二项，我们可以使用代换 v = 1-u^2：
2π∫(2u^2/√(1-u^2))du = -4π∫√v dv = -4π(2/3)v^(3/2)|0^1 = -8π/3
对于第三项，我们可以使用代换 w = u/(1+u^2)：
2π∫(u^4/√(1-u^2)(1+u^2)))du = 2π∫(w/(1+w^2))dw
使用分部积分分式，我们得到：
2π∫(w/(1+w^2))dw = πln(1+w^2)|0^1 = πln(2)
将值代回，我们得到：
2π(π - 8π/3 + πln(2)) = 2π(π/3 + πln(2)) = π(2π/3 + 2πln(2))
因此，该积分的解为 π(2π/3 + 2πln(2))。