微分方程y″-2y′-3y=3x+1+ex的特征方程为：λ2-2λ-3=0，
求解可得其特征值为：λ1=-1，λ2=3．
对于微分方程y″-2y′-3y=3x+1，①
由于0不是方程的特征根，
故其特解形式为：y1=Ax+B．
代入①可得，
-3Ax-（2A+3B）=3x+1．
故由
可得，A=-1，B=
?3A＝3 ?(2A+3B)＝1
，1 3
故y1＝?x+
．1 3
对于微分方程y″-2y′-3y=ex，②
由于1是方程的单重特征根，
故其特解形式为：y1=Cex．
代入②可得，
-4Cex=ex．
故C=?
ex，1 4
因此，y2＝?
ex．1 4
由线性微分方程解的性质可得，
y=y1+y2 =?x+
?1 3
ex即为所求微分方程的一个特解．1 4
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