求函数y=2x눀+1⼀x+2⼀x（x>0）的最小值

2025-06-29 05:23:37

推荐回答（3个）

回答1：

如果原式是
y=(2x²+1)/x+2/x，
则依均值不等式得
y=(2x²+1)/x+2/x
=(2x²+3)/x
=2x+3/x
≥2√(2x·3/x)
=2√6.
∴2x=3/x，即x=√6/2时，
所求最小值为: 2√6。

如果原式是
y=2x²+(1/x)+(2/x) (x>0)
则依均值不等式得
y=2x²+(1/x)+(2/x)
=2x²+(3/x)
=2x²+(3/(2x))+(3/(2x))
≥3[2x²·3/(2x)·3/(2x)]^(1/3)
=3·(9/2)^(1/3)
∴2x²=3/(2x)，即x=(3/4)^(1/3)时
所求最小值为3·(9/2)^(1/3)。

回答2：

因为 x>0
2x²>0 1/x>0 2/x>0
根据平均数不等式：
(2x²+1/x+2/x)^3 >= 3^3 *2x² * 1/x * 2/x = 3^3
所以
2x²+1/x+2/x >= 1
最小值是1

回答3：

就最值无非两种方法，一是求导看单调性，二是君子不等式