已知函数f（x）=ln（x+a）-x，（1）试确定f（x）的单调性；（2）数列{a n }满足a n+1 a n -2a n+1 +1=0，

2025-06-28 03:49:44

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回答1：

（1）∵ f ′ (x)=

x+a

-1 ，
由

x+a

-1＞0 ，得-a＜x≤1-a，
由

x+a＞0

x+a

-1＜0

，得x＞1-a，
故f（x）在（-a，1-a]上是单调增函数，在[1-a，+∞）上是单调减函数．
（2）①∵a_n a_n+1 -2a_n+1 +1=0，
∴ a n+1 =

2- a n

，1- a n+1 =1-

2- a n

1- a n

2- a n

，
∴

1- a n+1

2- a n

1- a n

+1( a 1 ≠1) ，
∴ {

1- a n

} 是公差为1的等差数列，且首项为

1- a 1

=2，
故

1- a n

=n+1，
∴ a n =1-

n+1

．
②由（1）知，当a=1时，f（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）是单调减函数，又f（0）=0，
∴x＞0，f（x）＜f（0）=0，即ln（1+x）＜x．
∴对于k∈N₊ ，

k+1

＞ln(1+

k+1

) =ln（k+2）-ln（k+1），
∵ a k =1-

k+1

＜1-(ln(k+2)-ln(k+1)) ，
∴S_n =a₁ +a₂ +…+a_n
＜1-（ln3-ln2）+1-（ln4-ln3）+…+（ln（n+2）-ln（n+1））
=n+ln2-ln（n+2）
＜n+1-ln（n+2）．