求曲线θ=1⼀2（r+1⼀r）（1≤r≤3）的弧长

由已知得r²-2θr+1=0,
解得r=θ±√(θ²-1),由于1≤r≤3,故
r=θ+√(θ²-1),且1≤θ≤5/3
r`=1+[θ/√(θ²-1)]
故弧长s=∫√(r²+r`²)dθ
=∫√{[θ+√(θ²-1)]²+[1+θ/√(θ²-1)]²}dθ
=∫θ√{2+[2θ/√(θ²-1)]+[1/(θ²-1)]}dθ
=∫[θ/√(θ²-1)]√[2(θ²-1)+2θ√(θ²-1)+1]dθ
=∫[θ/√(θ²-1)]√[(θ²-1)+2θ√(θ²-1)+θ²]dθ
=∫[θ/√(θ²-1)][(θ²-1)+θ]dθ
=∫{θ√(θ²-1)+√(θ²-1)+[1/√(θ²-1)]}dθ
=∫[θ√(θ²-1)]dθ+∫[√(θ²-1)]dθ
+∫dθ/√(θ²-1)
=(1/2)∫[√(θ²-1)]d(θ²-1)+∫[√(θ²-1)]dθ
+∫dθ/√(θ²-1)
={(1/3)(θ²-1)√(θ²-1)+(1/2)[θ√(θ²-1)-ln|θ+√(θ²-1)|]
+ln|θ+√(θ²-1)|}|
=[(1/6)(2θ²+3θ-2)√(θ²-1)+(1/2)ln|θ+√(θ²-1)|]|
=(154/81)+(1/2)ln3
其中求∫[√(θ²-1)]dθ的结果使用了不定积分公式：
∫√(x²-a²)dx=(x/2)√(x²-a²)-(a²/2)ln|x+√(x²-a²)|+C
此公式可用分部积分或三角代换求得.