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过抛物线y 2 =2px焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则 OA ? OB
过抛物线y 2 =2px焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则 OA ? OB
2025-06-25 09:40:14
推荐回答（1个）
回答1：
若直线l垂直于x轴，则
A(
p
2
，p)
，
B(
p
2
，-p)
.
OA
?
OB
=
(
p
2
)
2
-
p
2
=-
3
4
p
2
．…（2分）
若直线l不垂直于轴，设其方程为
y=k(x-
p
2
)
，A（x
1
，y
1
）B（x
2
，y
2
）．
由
y=k(x-
p
2
)
y
2
=2px
?
k
2
x
2
-p(2+
k
2
)x+
p
2
4
k
2
=0
∴
x
1
+
x
2
=
(2+
k
2
)
k
2
p，
x
1
?
x
2
=
p
2
4
．…（4分）
∴
OA
?
OB
=x
1
x
2
+y
1
y
2
=
x
1
x
2
+
k
2
(
x
1
-
p
2
)(
x
2
-
p
2
)
=
(1+
k
2
)
x
1
x
2
-
p
2
k
2
(
x
1
+
x
2
)+
p
2
k
2
4
=
(1+
k
2
)
p
2
4
-
p
2
k
2
?
(2+
k
2
)p
k
2
+
p
2
k
2
4
=-
3
4
p
2
．
综上，
OA
?
OB
=
-
3
4
p
2
为定值．…（6分）
故选B．
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