85问答库 > 过点P((根号10)⼀2,0)作倾斜角为a的直线与曲线x^2 2y^2=1交于M,N.求PM*PN最小值?

过点P((根号10)⼀2,0)作倾斜角为a的直线与曲线x^2 2y^2=1交于M,N.求PM*PN最小值?

2025-06-25 14:00:30

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回答1：

过点P((√10)/2,0)作倾斜角为a的直线与曲线x²+2y²=1交于M,N.求PM·PN最小值?
设过P直线参数方程：x=√10/2+tcosα，y=tsinα，t为参数，
代入椭圆方程得(√10/2+tcosα)²+2(tsinα)²=1，
即(2-cos²α)t²+(√10cosα)t+3/2=0.
故依韦达定理得t₁+t₂=-(√10 cosα)/(2-cos²α)，t₁t₂=(3/2)/(2-cos²α)
|PM|·|PN|=(3/2)/(2-cos²α)，
故cos²α=0，即α=π/2或3π/2时，|PM|·|PN|取最小值3/4，即所求为。

回答2：

设过P直线参数方程:
x=√10/2+tcosα，y=tsinα.
代入双曲线方程得
(√10/2+tcosα)²-2(tsinα)²=1
→(2-3cos²α)t²-(√10cosα)t+3/2=0.
故依韦达定理得
|PM|·|PN|
=(3/2)/(2-3cos²α)
故cos²α=0，
即α=π/2或3π/2时，
所求最小值为: 3/4。